这一章节将介绍拓扑基(简称基)的概念。如同从每一点的邻域中选取最具代表性的邻域组成邻域基那样,从拓扑空间的开集中选取最具代表性的开集就组成了基。本章还将讨论基的一般化——子基。另外,通过指定基或子基来定义拓扑空间的方法也很重要,本文将一并说明。
设 为拓扑空间,
的开集族
满足:对于
的任意开集
及任意
,存在
,使得
。此时
称为
的拓扑基,简称基。
设 为拓扑空间,给定
的开集族
,那么以下两条叙述等价:
证明:先证 。任取开集
,则对于每个
,总能选取某个
使得
,那么
。记所有
所组成的集族为
,则
。
再证 。对于
的任意开集
及任意
,因为
,所以存在
,使得
。而
,所以
,这就是基的定义。
很明显的例子,对于拓扑空间 ,拓扑
为
的基。
设 为距离空间,则所有开球组成的集族为
的基,即
。
首先,开球为开集(命题1.16)。其次,任取开集 和
,根据距离空间中开集的定义,存在
使得
。而
,所以
是基。
进一步地, 的子集
也是
的基。证明和例2.8类似,这里省略。
欧氏空间 为距离空间,由例3.4可知
和
都是
的基。因为
不可数,所以这两个基也不可数。
取 ,则集族
恰好为
中开区间的全体组成的集族,即
为
的基。
实际上 具有可数的基。为了说明这点,考虑坐标全为有理数的点集
,因为
可数,所以
也可数。
构造集族 ,它是由
的开集所组成的可数集。任取开集
和
,则存在
,使得
。取某个
,对每个坐标分量
,根据有理数的稠密性,存在
使得
。此时,
,因此
。于是开球
,且
。
任取 ,则
。根据三角不等式,
,所以
。由
的任意性得
成立,所以
为
的可数基。
具有可数基的拓扑空间也有专门的名字。
拓扑空间 是第二可数的,或者说满足第二可数公理,是指空间具有至多可数的基。
由例3.5可知 为第二可数空间。
拓扑空间 如果满足第二可数公理,那么它也满足第一可数公理。
证明:设 为第二可数空间,根据第二可数的定义,
具有至多可数的基
。任取一点
,构造集族
,则因为
,所以
为至多可数集。
因为每个 都是含有
的开集,所以每个
都是
的开邻域,于是
就是由
的邻域所组成的集族。任取
的开邻域
,因为
为基,所以存在
满足
。如此,
,于是
满足邻域基的定义。
命题3.7反过来不成立。
设 为任意不可数集(例如
),赋予离散拓扑。参考例2.9,对于每个
,单点集构成的集族
为
的邻域基,它是至多可数的,因此
为第一可数空间。
然而 不是第二可数空间,理由很简单。任取某个基
,对任意
,单点集
为开集。根据基的定义,存在开集
,使得
。显然,
,那么
就是由
中所有单点集所组成的集族。因为
不可数,所以
也不可数。
拓扑空间的基具有以下性质。
设 为拓扑空间
的基,则成立以下两条性质:
证明: 是显而易见的。因为
本身就是开集,
,根据基的定义,
,使得
。
再证 。任取
以及
,因为基中的集合均为开集,
为开集,所以
也为开集。而
,根据基的定义,
,使得
。
证毕。
和邻域基的情况类似,以下命题告诉我们通过给集合指定基的方式同样可以定义拓扑空间。
设 为非空集合,集族
满足条件
。此时,在
上有且只有一个拓扑
,使得
恰好为拓扑空间
的基。这个拓扑具体如下:
。
证明:同样是先证明上面的集族满足条件 ,即
确实是一个拓扑。
:先证
。因为
总为真(同命题0.8,注意1.3,命题2.11),所以
。再证
。任取
,由条件
可知存在
,使得
,所以
。
:任取
,交集为空时
成立。交集不为空时,任取
。对于每个
,存在
使得
,那么
。根据条件
,存在
使得
,所以
。
:设
为指标集,集族
。任取
,则
使得
。又因为
,所以
使得
,于是
。
由此得到了拓扑空间 ,再证明
为基。首先证明
中的集合为开集,即
。任取
,只要令
,就得到
成立,故
。由
的任意性可知
,即
中集合为开集。再任取
,根据
的定义,存在
使得
,所以
为基。
最后证明满足条件的 是唯一的。假设
上有两个拓扑
都使得
恰好为基,任取
。对于任意的
,因为
为
的基,所以存在
,使得
。另一方面,
且
是拓扑空间
的基,所以
是拓扑空间
的开集,从而
是
在
中的开邻域。根据命题2.4,
是拓扑空间
的开集,即
,所以
。同理可证
,故
,即这样的拓扑是唯一的。
证毕。
命题3.10中的拓扑 叫作由基
生成(或诱导)的拓扑。此时,
是包含
的最小拓扑(最粗的拓扑)。
证明:首先, 是拓扑空间
的基,所以
。其次,设
是
上任意满足
的拓扑。任取
,由命题3.2可知
,使得
。然而,
,所以每个
,于是
的右边就是
中若干开集之并。根据条件
可知
,所以
,即
是包含了
的最小拓扑。
证毕。
利用命题3.10我们来在数轴上建立一个不同于通常拓扑(例1.9)的拓扑。
设半开半闭区间 的全体组成集族
,可以验证
满足条件
,从而根据命题3.10,数轴上存在唯一拓扑使得
为它的基。给数轴赋予了该拓扑后得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线,用符号
表示。
设 为任意一点,我们来证明所有形如
的区间所组成的集族
为
的邻域基。任取
为
的开邻域,因为
为基,所以存在区间
使得
。根据实数的阿基米德性质,存在正整数
,使得
。于是
,这就证明了集族
为
的邻域基。因为
是可数集,由
的任意性可知
为第一可数空间。
但 不是第二可数空间,利用反证法来证明。假设
具有某个至多可数的基
,构造集族
,满足
中的集合非空且有下界,则
为至多可数集。根据确界原理,每个
都有下确界
。记映射
,因为
至多可数,所以像集
也至多可数。但是因为
不可数,所以必然存在某个
。另一方面,
为开集,所以存在
,使得
。注意到
含有元素
且
为它的下界,那么
。而下界
在集合
中意味着
,这就和
矛盾。
记数轴上的通常拓扑为 ,Sorgenfrey直线上的拓扑为
,现说明
。首先,对于任意开区间
,有
。右边是
的基(开集)之并,所以左边也是
的开集,即
,那么开区间组成的集族
。又根据例3.5可知,开区间是通常拓扑
的基,由注意3.11得
是包含了
的最小拓扑,因此
。
将基的条件削弱,就得到了子基的概念。
设 为拓扑空间,
的集族
称为
的子基(或准基),如果它满足:
中任意有限个集合之交所组成的集族
为
的基。
只要令 就可知所有
也都是
的元素,即
,所以
中的集合都是开集。另外,当
本身为基时,因为
,所以
也是基(请大家自行验证)。从而
满足子基的定义,即任何基都可以视为子基。
对于数轴 ,考虑以下集族:
,
即所有半开无限区间的全体组成的集族,现在来证明它是 的子基。
因为 中的集合都是开集,所以任意有限个集合之交也是开集,即定义3.13中
的集合也是开集。其次,任取开集
和
,存在
,使得
。在这里,
,所以
。结合
可知
为
的基,所以
为子基。
拓扑空间 的任意子基
都具有以下性质:
证明:任取 ,因为
本身为开集,所以存在
,使得
。由
的定义,存在
,使得
。于是
,任取一个作为
即可。
证毕。
虽然 是非常弱的一个条件,但只要
上的某个集族
满足这个条件,它就能成为
上某个拓扑的子基。也就是下面的命题成立:
设 为非空集合,集族
满足条件
。此时,在
上有且只有一个拓扑
,使得
恰好为拓扑空间
的子基。
证明:给定集族 之后,按照定义3.13那样定义集族
。此时易证对于任何的
,都有
,所以
满足条件
。又因为
且
满足条件
,所以
满足条件
。于是根据命题3.10,以
为基,即以
为子基的拓扑
有且只有一个。
证毕。
在集合 上定义拓扑时,开集公理
是一个非常严苛的条件,很多集族为此无法成为开集。然而命题3.16在一定程度上缓解了这种困难,也就是说哪怕集族
不满足
,但只要满足非常弱的条件
,我们就能通过
构造出一个拓扑。
命题3.16中的拓扑 叫作由子基
生成(或诱导)的拓扑。注意到此时的
是空间
的基,所以
同时也是由基
生成的拓扑。
和注意3.11一样, 也是包含
的最小拓扑。首先,
是拓扑空间
的子基,所以
。其次,设
是
上任意满足
的拓扑。任取
,由
的定义可知
,其中
。然而
,所以每个
,于是
的右边就是
中有限个开集之交。根据条件
可知
,所以
。又上面已经说了
是由基
生成的拓扑,由注意3.11可知
是包含了
的最小拓扑,即
。
满足条件 的集族
虽然能够生成拓扑
使得
,但
本身不一定满足条件
。所以,由子基生成拓扑的本质其实是往集族
中加入最少量的集合,得到一个满足条件
的新集族
。
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